3.Координатни системи

 Най-често използваните координатни системи са декартовите и полярната. При едномерната декартова координатна система координата x определя местоположението на т. М. Важно е да обозначим точка М (x) или с реални числа М (3) върху оста Х. При двумерната  (равнинна)  декартова координатна система имаме две взаимно перпендикулярни координатни  оси: Х – наречена абсциса и У – ордината. Също така единичните вектори по осите  х и у, задължително са равни по големина. Съответно при двумерна координатна система, означението е М(x, y) или с реални числа М(3, 5) например.

          D:\Documents\GR\Shema new 3-1.wmf

Едномерна и двумерна декартови координатни системи

При тримерната (пространствената) декартова координатна система се въвежда още една ос – Z. Тя се нарича апликата и е перпендикулярна на останалите две оси. Означението, което трябва да се постави е М(x, y, z) или с реални числа М(3, 5, 2) например.

D:\Documents\GR\Shema new 3-4.wmf                      

Тримерна декартова координатна система      Основни равнини

Осите X Y определят фронталната равнина, осите Y Z – сагиталната и осите X Z трансверзалната равнина.

Определянето на местоположението на произволна точка М се извършва

- в едномерната координатна система - М (x)

- в двумерната координатна система - М (x, y)

- в тримерната координатна система - М (x, y, z)

Полярната координатна система е много удобна за описване на въртеливи движения. 

D:\Downloads\Shema new new 3-6-2.jpg

  Полярна координатна система

Точката О е произволно избрана. Служи за начало на координатната система и се нарича полюс.

Лъчът   се нарича полярен лъч. Чрез него се задава нулева посока на системата и се установява положителната посока на въртене.

Местоположението на точката М(r, ) е определено чрез полярните координати:

r големината на вектора, който се построява от т.О  до  т.М Означението, което трябва да се постави за точка М е М(r, )

 – големината на ъгъла, който се получава между полярния лъч  и вектора .       Големината на ъгъла се изразява в радиани – radАко декартова и полярна координатна система имат общо начало, еднаква ориентация и са неподвижни една спрямо друга, връзката между координатите им ще бъде представена от следните уравнения:

D:\Downloads\Shema new new poprawena 3-6 - Copy.jpg

Декартова и полярна координатна система с общо начало и еднаква ориентация

а) когато декартовите координати са неизвестни

х = r cos

y = r sin

 б)  когато полярните координати са неизвестни

r =

tg  =              

Чрез получената стойност на тангенса,  лесно можем да определим големината на ъгъла .

Начини  за определяне местоположението на телата

1. Естествен – когато траекторията е предварително известна - маршрутът при автомобилните ралита, трасето при крос и т.н. Избира се някоя  точка от траекторията за начална. Обикновено това е старта или финала. За да определим местоположението е достатъчно да знаем две неща:

а)    Какво е разстоянието между началната точка и спортиста.

б)  От коя страна на началната точка се намира спортистът. За да    определим това, използваме знаците  +  или  -

2. Координатен –  в отправната система сме използвали  някоя от декартовите координатни системи.

Положението на произволна точка М в даден момент от време, можем да определим, като построим перпендикуляри от точката до координатните оси.

Координатен метод

Получаваме наредена двойка  (   или наредена тройка )   реални числа,  които наричаме координати на точката М. Те еднозначно определят местоположението на т. М

При движението на точката М нейните координати (x, y, z) се изменят с течение на времето.

x = x(t)        y =y(t)       z = z(t)

Зависимостта на координатите от времето определя закона за движението.

3. Векторен – определяме местоположението на тялото, чрез големината на радиус-вектор и ъгълът спрямо хоризонталната равнина. Имаме две възможности да направим това (чрез използването на декартова или на полярна координатна система).

Нека отново се върнем към пространствената декартова координатна система. Можем да определим местоположението на т. М по два еквивалентни начина: като знаем трите координати (x, y, z) на М, което направихме по-горе,  или като  знаем радиус-векторът   (началото му е в  началото О на координатната система, а краят – в точка М).

LB-01-F1-02b

Векторен метод

Декартовите координати на точката М се наричат скаларни компоненти (или координати) на радиус-вектора , който се записва по следния начин:

.

Зависимостта на радиус-вектора от времето    =   (t)   се нарича закон на движението.

Другата възможност по векторния начин да определим местоположение е да използваме полярната координатна система.